Navigation – Plan du site

Méthodes d’analyse du changement fondées sur les trajectoires de développement individuel

Modèles de régression mixtes paramétriques et non paramétriques*
Véronique Dupéré, Eric Lacourse, Frank Vitaro et Richard E. Tremblay
p. 26-57

Résumés

Les modèles linéaires mixtes généralisés regroupent une variété de méthodes modernes d’analyse du changement fondées sur la trajectoire individuelle de développement. Ces méthodes présentent plusieurs avantages comparativement aux méthodes traditionnelles d’analyse de données longitudinales. Elles permettent de décrire, par le biais d’un ensemble de paramètres, l’évolution d’attributs individuels au fil du temps (changement intraindividuel), ainsi que les variations au sein d’une population quant à ces patrons d’évolution individuels (variations interindividuelles). Par ailleurs, plusieurs éléments distinguent les différents modèles mixtes, notamment quant aux postulats concernant la forme de la distribution de l’hétérogénéité non-observé. Le présent article introduit le modèle linéaire mixte généralisé postulant une distribution normale de l’hétérogénéité et le modèle mixte non paramétrique s’appuyant sur une distribution discrète pour modéliser les différences interindividuelles. Avant d’aborder les similitudes et les distinctions entre ces modèles, une première partie est consacrée à la description générale du concept de trajectoires individuelles de développement.

Haut de page

Notes de l’auteur

* Cette étude est supportée par des bourses d’étude du Fonds de Recherche en Santé du Québec (FRSQ) et du Conseil de recherche en sciences humaines du Canada (CRSH).

Texte intégral

1Afin d’appréhender le changement, les chercheurs ont couramment recours à des plans de recherche longitudinaux dans lesquels des observations sur un ensemble d’individus sont récoltées à plusieurs reprises. Jusqu’à récemment, les méthodes statistiques disponibles pour analyser ce type de données ne permettaient pas d’extraire toute la richesse de l’information sur le changement contenue dans les études longitudinales (voir Rogosa, 1995). Dans les années 1990, les modèles mixtes fondés sur le concept mathématique de trajectoire individuelle de développement (aussi appelés modèles hiérarchiques ou modèles multiniveau) ont émergé comme une alternative viable permettant de corriger plusieurs problèmes des approches traditionnelles telles que l’analyse de variance à mesures répétées (Menard, 2002; Metha & West, 2000). Depuis l’arrivée de ces modèles, plusieurs variations du modèle mixte ont été développées dont le modèle mixte non paramétrique (Nagin, 1999; Nagin & Land, 1993).

2Malgré la supériorité méthodologique des nouveaux modèles pour analyser le changement, les méthodes d’analyse traditionnelles sont encore souvent utilisées dans les études longitudinales (Willett & Singer, 2003; Willett, Singer, & Martin, 1998). La complexité de ces modèles ainsi que la rapidité de leur évolution ne sont certainement pas étrangères à cet état de fait. L’objectif du présent article est de contribuer à la diffusion des développements récents en analyse longitudinale, en offrant une description simple et générale de deux types de modèles mixtes. D’abord, le modèle mixte généralisé postulant une distribution normale de l’hétérogénéité non-observée est présenté (Bryk & Raudenbush, 1992; Willett et al., 1998). Ensuite, le modèle de mélange non paramétrique s’appuyant sur une distribution discrète de l’hétérogénéité est abordé (Jones, Nagin, & Roeder, 2001; Land & Nagin, 1996; Nagin, 1999; Nagin & Land, 1993). Cette variation du modèle mixte généralisé est retenue étant donné l’intérêt grandissant suscité par cette approche pour répondre à des questions concernant des sous-populations atypiques (voir Eggleston, Laub, & Sampson, 2004). Avant d’aborder plus en profondeur les similitudes et les différences entre ces modèles, une première partie est consacrée à l’élaboration du concept de trajectoire individuelle de développement.

Les trajectoires de développement

Description générale

3Selon Curran et Willoughby (2003), la trajectoire de développement sert à décrire, pour un individu, un processus continu latent (c.-à-d. qui ne peut être observé directement), mais dont une approximation peut être obtenue en mesurant ses manifestations à plusieurs reprises. Autrement dit, comme la trajectoire latente (ex., trajectoire de délinquance) n’est pas observable, elle est plutôt inférée à partir d’une suite de données recueillies au fil du temps (ex., une série de mesure des comportements délinquants). Elle peut être représentée graphiquement par une courbe illustrant le développement en fonction du temps (voir figure 1). Cette courbe peut prendre plusieurs formes (linéaires, quadratique, exponentielles, etc.). Dans le cas d’une fonction linéaire, la courbe s’exprime, en termes mathématiques, par une ordonnée à l’origine et une pente. L’ordonnée à l’origine représente la valeur de la variable dépendante au temps zéro (ex. : niveau de comportements délinquants au début de l’adolescence), alors que la pente représente le taux de changement par unité de temps (ex. : augmentation annuelle des comportements délinquants au cours de l’adolescence). D’autres paramètres peuvent être ajoutés pour décrire des courbes plus complexes (ex., un terme d’accélération pour décrire une fonction quadratique). La nature des trajectoires de développement leur confère plusieurs avantages pour l’étude du changement.

Figure 1 : Exemples de trajectoires a) linéaire et b) quadratique

Figure 1 : Exemples de trajectoires a) linéaire et b) quadratique

Avantages

4L’avantage premier des trajectoires de développement est qu’elles représentent une modélisation explicite du changement individuel, ce qui n’est pas le cas des méthodes traditionnelles d’analyse du changement (ex., analyses de variance à mesures répétées,  Rogosa, 1995). Cette propriété deviendra évidente dans la section sur les équations décrivant les trajectoires. Les méthodes fondées sur les trajectoires de développement se distinguent également par leur flexibilité (Willett et al., 1998). D’abord, ce type d’analyse ne requiert pas que les individus soient mesurés simultanément, à la même cadence, à un rythme constant ou à un nombre d’occasions équivalent. En raison de cette grande flexibilité, l’analyse de trajectoires peut être appliquée à virtuellement tous les types de schèmes longitudinaux. Plus spécifiquement, ceci signifie qu’il est possible d’utiliser les trajectoires directement malgré la présence de données manquantes (c.-à.-d. sans avoir recours à un algorithme de remplacement). Il s’agit là d’une caractéristique importante puisque les données manquantes sont très fréquentes dans les études longitudinales (Boyle & Willms, 2001; Raudenbush, 1993). Toutefois, même si une trajectoire individuelle peut être estimée en présence de données manquantes, la validité de la trajectoire ainsi obtenue est incertaine lorsque ces données manquantes n’apparaissent pas de façon aléatoire (voir Allison, 2001 pour un texte introductif sur les méthodes de gestion des données manquantes). En dépit leur souplesse, l’utilisation des trajectoires est soumise à certaines conditions d’utilisation.

Conditions d’utilisation

Le nombre de temps de mesure

5Un chercheur désirant utiliser les trajectoires de développement doit prévoir au moins trois points de cueillette de données échelonnés dans le temps. En effet, ceci apparaît comme un minimum nécessaire à l’étude du changement et, de manière plus spécifique, à l’utilisation des trajectoires de développement. Rogosa et ses collaborateurs (1995; Rogosa, Brandt, & Zimowski, 1982) ont très bien documenté la question, en montrant que lorsque seulement deux points sont connus, il est impossible de déterminer, parmi un ensemble de possibilités, la forme de la trajectoire sous-jacente. En effet, une multitude de courbes différentes (linéaires, exponentielles, logistique, etc.) pourraient théoriquement traverser ces deux points. De plus, un design à deux temps de mesure ne permet pas de distinguer le changement réel de l’erreur de mesure. Par exemple, un chercheur pourrait observer une trajectoire ascendante pour un individu ayant en réalité une trajectoire horizontale, mais pour qui le premier score est sous le score réel et le deuxième au-dessus, en raison de l’erreur de mesure. L’ajout d’un troisième temps de mesure est nécessaire afin de contourner ces obstacles. Toutefois, même lorsque plusieurs temps de mesure sont disponibles, d’autres problèmes peuvent survenir si l’instrument de mesure n’est pas adéquat.

La qualité de la mesure

6La qualité de la mesure utilisée pour quantifier le phénomène d’intérêt est primordiale. Deux éléments principaux sont à considérer dans le choix de la mesure. Premièrement, il est essentiel que les données recueillies conservent la même signification à chaque point de mesure, sans quoi il est impossible de déterminer si le changement observé est attribuable aux variations de l’échelle de mesure plutôt qu’à une évolution réelle (Bryk & Raudenbush, 1987; Willett et al., 1998). Cette propriété, spécifiant que la variable d’intérêt doit être mesurée selon une métrique uniforme, réfère au principe d’invariabilité (voir Curran & Willoughby, 2003). Une mesure est dite invariable lorsqu’un score de même valeur représente toujours la même quantité de la variable d’intérêt, peu importe le moment de la prise de mesure. Plusieurs tests standardisés n’ont pas été conçus de manière à respecter ce principe (Bryk & Raudenbush, 1987; Raudenbush, 2001a). Au départ, l’objectif de ces tests était d’attribuer des scores afin de distinguer les individus à un seul moment dans le temps plutôt que de détecter le changement individuel d’une prise de mesure à l’autre. Les stratégies de standardisation visant à conserver constantes la moyenne et la variance pour tous les groupes d’âge ont un effet d’aplanissement qui diminue manifestement les possibilités d’observer le changement (Rogosa et al., 1982). De façon générale, la standardisation des scores est donc à proscrire lorsque les trajectoires de développement sont utilisées pour modéliser le changement (voir Willett et al., 1998).

7Deuxièmement, la validité de la mesure doit être invariante pendant toute la durée de l’étude (Singer & Willett, 2003; Willett et al., 1998). Le fait d’utiliser le même instrument de mesure pour chaque vague de collecte n’assure pas la satisfaction de cette exigence. En effet, il apparaît qu’une mesure valide lors d’une collecte de donnée ne l’est pas nécessairement lors d’une collecte subséquente, même si celle-ci est effectuée auprès des mêmes individus. Par exemple, l’observation de la fréquence de comportements tels que mordre ou donner des coups de pied peut s’avérer une mesure adéquate du construit latent d’agressivité chez les jeunes enfants, mais la validité de ces mêmes items est douteuse pour évaluer l’agressivité des adolescents (Curran & Willoughby, 2003). Autrement dit, une diminution de la fréquence de ces comportements n’indique pas nécessairement une diminution de l’agressivité, mais peut-être simplement une complexification de ses manifestations au fil du temps. L’agressivité présente donc une continuité hétérotypique, puisque ses manifestations changent et qu’il n’existe pas de mesure valide pour à tous les stades du développement humain. Lorsque la validité d’un l’instrument est inconstante, l’interprétation des courbes de croissances est impossible.

Modèle mathématique

Équations

  • 1  La notation de Bryk et Raudenbush (1992) est préférée afin de faciliter la présentation subséquent (...)

8Les trajectoires de développement ont été développées afin de décrire explicitement les changements systématiques observés sur un attribut individuel en fonction du temps. En termes mathématiques, les trajectoires sont équivalentes à une équation de régression où la variable indépendante « temps » (a, pour âge dans l’exemple ci-dessous) sert à prédire la variable dépendante (Y), c’est-à-dire un score de développement obtenu à un temps donné. Par exemple, une trajectoire linéaire peut être exprimée ainsi1 :

9avec i = 1,…, n individus, et où Yti représente le score obtenu par un individu i au temps t pour une mesure (ex., délinquance); π0i représentel’ordonnée à l’origine et π1i la pente pour le même individu i; et, finalement, ati représente le temps (ex. l’âge de l’individu i au temps t). Le terme d’erreur eti représente l’erreur aléatoire associée au score de l’individu i au temps t, c’est-à-dire l’écart entre la trajectoire (valeur estimée) et le score observé (mesure) au temps t pour cet individu i.

10L’équation linéaire constitue le modèle de changement le plus simple et le plus courant (Metha & West, 2000; Willett et al., 1998). Ce type de modèle est adéquat dans plusieurs situations et possède une valeur heuristique importante, ne serait-ce que pour fournir un premier estimé du processus de changement (Rogosa, 1995). Toutefois, l’équation linéaire ne décrit pas toujours adéquatement les données observées, et la spécification d’équations non linéaires peut s’avérer essentielle (Curran & Willoughby, 2003; Metha & West, 2000). Lorsque la présence de relations non linéaires est soupçonnée, des termes supplémentaires peuvent être ajoutés à l’équation. Une équation polynomiale de puissance P constitue le modèle général de la trajectoire de développement individuel :

11Dans cette équation, π2iajoute unecourbature (accélération ou décélération) à la composante linéaire π1i , et ainsi de suite.

12Les trajectoires ne sont pas limitées aux fonctions polynomiales. Par exemple, elles peuvent être représentées par une ligne brisée (piecewise linear growth model, Bryk & Raudenbush, 1992) ou par une fonction exponentielle ou logarithmique (voir Curran & Willoughby, 2003; Singer & Willett, 2003). Ces trajectoires possèdent des avantages spécifiques. Par exemple, elles permettent respectivement de modéliser des points de transition ou des phénomènes asymptotiques où la trajectoire développementale est bornée par un minimum et un maximum. En effet, si la période d’observation est suffisamment étendue, il est probable que le phénomène en développement augmente ou diminue pendant une partie de l’étude seulement et finisse par atteindre un niveau stable. Malgré l’intérêt de ces formes alternatives, une discussion détaillée de ces modèles dépasse la visée du présent article d’introduction, qui se concentre principalement sur les fonctions polynomiales plus couramment utilisées et, plus spécifiquement, sur la fonction linéaire.

Choix des paramètres

13Le choix des paramètres à estimer dans le modèle estune étape cruciale. Il revêt une importance particulière puisque dans le modèle mixte paramétrique, les paramètres estimés deviendront les variables dépendantes décrivant les variations interindividuelles dans le changement (voir section 2). Ce choix déterminant peut être guidé par différentes considérations empiriques et théoriques (Willett et al., 1998).Le nombre de vagues de collectes effectuées impose une première contrainte. En effet, l’ajout de paramètres exige un nombre de points de mesure plus grand. De façon générale, le nombre maximal de paramètres pouvant être inclus dans l’équation équivaut au nombre de points de mesure moins un (Boyle & Willms, 2001; Willett et al., 1998). Par ailleurs, une augmentation du nombre de points permet non seulement des modélisations plus complexes, mais influence aussi positivement la puissance, la précision et la validité (Raudenbush & Xiao-Feng, 2001; Willett et al., 1998). Ensuite, le choix doit être guidé par des considérations théoriques. En plus d’aider à la spécification de la forme de la trajectoire, l’interprétation des résultats est grandement facilitée lorsque le choix des paramètres s’inscrit dans le cadre d’une conceptualisation théorique. Les résultats des recherches empiriques antérieures représentent aussi une source d’informations complémentaire. Finalement, l’examen des données individuelles est susceptible d’aider à formuler des hypothèses quant à la forme du changement. Au-delà de l’examen visuel, il existe des indices quantitatifs permettant de sélectionner la forme qui présente la meilleure correspondance avec les données (voir Curran & Willoughby, 2003; Singer & Willett, 2003). Certains de ces indices d’ajustement seront brièvement présentés dans les sections subséquentes sur les modèles mixtes. Finalement, mentionnons que l’ajout de paramètres ne doit pas être effectué aux dépens de la parcimonie. L’augmentation de la complexité doit être contrebalancée par un gain réel en précision (Boyle & Willms, 2001).

Modèles mixtes

14Le modèle mathématique spécifié dans la section précédente sert à définir, par le biais de paramètres, une trajectoire représentant le développement de chaque individu de l’échantillon. Lorsqu’elles sont ainsi prises une à une, les trajectoires renseignent sur l’évolution intraindividuelle, c’est-à-dire sur l’évolution d’un seul individu au fil du temps, par rapport à lui-même (Singer & Willett, 2003). Pour répondre aux questions interindividuelles, concernant les différences relatives entre les trajectoires, l’ensemble des trajectoires représentant une population doivent être considérées simultanément (voir figure 2). La fonction des modèles mixtes est précisément de modéliser les différences interindividuelles entre les trajectoires de développement.

Figure 2 : Exemple d’un ensemble de trajectoires de développement linéaires

Figure 2 : Exemple d’un ensemble de trajectoires de développement linéaires

Le modèle mixte paramétrique

Description générale

15Les modèles mixtes, aussi appelés modèles multiniveaux (Goldstein, 1995), modèles hiérarchiques (Bryk & Raudenbush, 1992), modèles à coefficients aléatoires (Longford, 1993) ou analyses de courbes latentes (Meredith & Tissak, 1990; voir Raudenbush, 2001a pour un résumé explicatif des différentes terminologies) ont été conçus pour analyser des données organisées en structure hiérarchique. L’exemple typique d’une structure hiérarchique provient du domaine de l’éducation, dans lequel des élèves sont nichés dans des classes, qui sont à leur tour nichées dans une école, qui elle fait partie d’une commission scolaire, etc. (Bryk & Raudenbush, 1992; Cheong & Raudenbush, 2000). Cette série de regroupements représente autant de niveaux, du plus spécifique (l’élève, au niveau 1) au plus général (la commission scolaire, au niveau 4). Dans le cas des trajectoires de développement, la structure hiérarchique de base provient du fait que les différents temps de mesure (niveau 1) sont nichés dans un individu (niveau 2). Au niveau 1, les trajectoires de développement permettent de résumer en quelques paramètres toute l’information sur l’évolution d’un individu contenue dans une série de mesures. L’objectif au niveau 2 est cette fois de représenter la distribution de ces paramètres individuels au sein de la population. Le niveau 2 permet de répondre aux questions de recherches portant sur la position relative des individus: 1) est-ce qu’ils partent tous au même point? 2) est-ce qu’ils évoluent au même rythme? 3) est-ce que ceux qui partent avec un score plus faible évoluent plus rapidement? ou 4) est-ce que, au contraire, les écarts s’agrandissent, ceux ayant des scores élevés au départ évoluant plus rapidement?

16Afin de répondre à ce type de questions, les paramètres précisés au niveau 1 deviennent, dans les modèles mixtes, les variables dépendantes au niveau 2 (voir la section 2.1.4 sur les équations). Dans le modèle mixte paramétrique, la moyenne et la variance décrivant la distribution des paramètres de changement sont estimées au niveau 2, en supposant une distribution normale continue de ces paramètres. Autrement dit, il est attendu que les trajectoires individuelles se distribuent normalement autour d’une trajectoire moyenne.

Avantages

17Le premier avantage des modèles mixtes est qu’ils permettent d’obtenir une estimation adéquate ou « honnête » de l’erreur, qui tient compte de la structure hiérarchique des données (Boyle & Willms, 2001; Bryk & Raudenbush, 1992). Le postulat d’indépendance des données inhérent aux méthodes traditionnelles ne peut être soutenu lorsque les données sont organisées en regroupements hiérarchiques. En effet, il est attendu, dans les études longitudinales, que les mesures obtenues auprès d’un même individu au fil du temps soient corrélées entre elles. L’organisation des termes d’erreurs dans les modèles mixtes permet de tenir compte de l’autocorrélation des données. En plus de permettre l’autocorrélation des observations, les modèles mixtes accommodent également l’hétérogénéité de la variance de l’erreur (hétéroscedasticité) souvent observée dans les études longitudinales (voir la section sur les équations pour plus de détails sur l’autocorrélation et l’hétéroscédasticité dans les modèles mixtes).

18L’utilisation des modèles mixtes sert également à partager la variance entre les différents niveaux hiérarchiques, sans nécessiter l’agrégation des données ou la séparation des analyses par niveau (Bryk & Raudenbush, 1992). Concrètement, ceci permet d’évaluer l’influence relative des différents niveaux sur la variable dépendante en utilisant toute l’information disponible et en conservant une puissance statistique adéquate (l’agrégation des données diminue la puissance en diminuant le nombre de cas). Si l’on se réfère à l’exemple classique de l’élève niché dans une classe qui est elle-même nichée dans une école, l’analyse multiniveau permet de départager à quel point les différences au plan de la réussite scolaire, par exemple, sont dues à des différences individuelles (niveau 1), à des différences associées au groupe-classe (niveau 2) ou à l’école fréquentée (niveau 3). Cette caractéristique ouvre la porte à tout un pan d’applications intéressantes concernant les influences contextuelles sur les trajectoires (Boyle & Willms, 2001). Dans le cadre longitudinal, l’effet du contexte pourrait être modélisé par l’ajout d’un troisième niveau au-delà des points de mesure (niveau 1) nichés dans l’individu (niveau 2). Cette transformation peut se faire simplement, en suivant une logique hiérarchique similaire à celle présentée pour un modèle à deux niveaux (Raudenbush, 2001b, 2002).

19Finalement, afin d’expliquer les variations interindividuelles entre les trajectoires et intraindividuelles au sein des trajectoires, il est possible d’incorporer des covariables fixes et des covariables qui varient dans le temps dans l’équation. Les covariables fixes réfèrent à des caractéristiques stables, comme le genre ou les antécédents familiaux. Elles permettent d’estimer dans quelle mesure ces caractéristiques arrivent à expliquer les différences observées au niveau 2, entre les paramètres des trajectoires individuelles (Bryk & Raudenbush, 1992; Willett et al., 1998). Par exemple, le fait d’être de sexe masculin pourrait être associé à une augmentation plus marquée de la délinquance au cours de l’adolescence. Par contre, les covariables qui varient dans le temps sont des caractéristiques qui ont été mesurées à plusieurs reprises, et dont la valeur peut fluctuer à chaque point de mesure. Elles permettent d’expliquer les variations intraindividuelles au niveau 1, pour un même individu d’un temps de mesure à l’autre. Par exemple, la trajectoire de délinquance d’un adolescent pourrait être plus élevée lorsqu’il est en contact avec des pairs délinquants que lorsqu’il ne l’est pas. La comparaison s’effectue ici par rapport à l’individu lui-même plutôt que par rapport à autrui.

20La possibilité d’inclure ces deux types de covariables constitue un avantage important, puisque qu’elle peut aider à tester différentes théories du développement (Curran & Willoughby, 2003; Nagin & Paternoster, 2000). En effet, l’inclusion de covariables fixes et variables permet de considérer simultanément l’importance de traits stables ainsi que de circonstances de vie changeantes afin d’expliquer les différences entre les paramètres des trajectoires individuelles ainsi que les différences d’un temps de mesure à l’autre pour un même individu. Par exemple, si l’on considère l’étiologie des comportements délinquants, la théorie de l’hétérogénéité au sein de la population prédit que ce sont des caractéristiques stables établies tôt au cours de la vie qui expliquent les différences individuelles : ceux qui possèdent certains facteurs de risque, comme un tempérament difficile, auront tendance à manifester davantage de comportements délinquants à toutes les étapes du développement. La stabilité relative de ces comportements au fil du temps serait donc expliquée par l’influence constante de ces facteurs de risque.

21Par contre, la théorie de la dépendance de l’état met l’accent sur l’importance des circonstances de vie pour comprendre l’évolution des comportements délinquants. Selon cette théorie, la stabilité de ces comportements existe parce que la manifestation de tels comportements change les circonstances de vie et augmente ainsi les probabilités d’en manifester d’autres plus tard au cours du développement. De plus, la considération des facteurs qui varient dans le temps permet d’expliquer non seulement la stabilité mais aussi d’éventuels changements. En effet, malgré leur stabilité relative, les comportements délinquants fluctuent au fil du temps. Par exemple, certains peuvent présenter ce type de comportement pendant l’adolescence seulement (Moffit, 1993). Le recours à des covariables qui varient dans le temps, comme la fréquentation de pairs délinquants, apparaît comme une voie intéressante afin d’expliquer ce type de phénomène.

22En réalité, ces deux théories ne sont pas mutuellement exclusives, et les recherches tendent à montrer que les deux processus sont importants. Dans les modèles mixtes, il est possible d’évaluer l’impact des évènements de vie changeants tout en contrôlant pour les caractéristiques stables. Toutefois, une partie de l’hétérogénéité au sein de la population demeure non observée, puisqu’il est impossible de mesurer toutes les caractéristiques stables pouvant potentiellement expliquer les différences individuelles. Les modèles mixtes permettent de contrôler non seulement pour les covariables fixes observées, mais aussi pour cette hétérogénéité non observée. Cette caractéristique provient du fait que les modèles mixtes tiennent compte de l’autocorrélation des données lors de l’estimation des résidus. En effet, cette autocorrélation serait due aux caractéristiques stables de l’individu présentes d’un temps de mesure à l’autre, qu’elles soient observées ou non.

Postulats

23Le modèle mixte paramétrique présume de la linéarité et de la normalité distributionnelle des données et des effets aléatoires, c’est-à-dire des variations interindividuelles sur le plan des trajectoires. Mentionnons toutefois qu’il est maintenant possible de relâcher le postulat de normalité en ce qui concerne la distribution des données (voir Raudenbush & Bryk, 2002). En effet, le modèle mixte paramétrique peut s’appuyer, pour les données, sur une distribution binaire (distribution de Bernouilli), sur une distribution d’occurrence (distribution de Poisson) ou sur une distribution multinomiale. Même si la distribution postulée pour des données peut prendre différentes formes, le postulat de normalité de la distribution des effets aléatoires demeure généralement inchangé dans les modèles mixtes paramétriques. En résumé, il est donc attendu que les paramètres individuels se distribuent normalement autour des paramètres moyens, et ce peu importe la forme distributionnelle des données sous-jacentes. Le modèle suppose donc que l’ensemble des trajectoires individuelles sont adéquatement résumées par un modèle organisé autour d’une trajectoire moyenne unique. Autrement dit, le phénomène est conceptualisé comme suivant une tendance générale commune (ex. : augmentation des comportements délinquants pendant l’adolescence), bien que l’ampleur de la tendance puisse varier d’un individu à l’autre. Ces postulats sont particulièrement importants afin de différencier le modèle mixte paramétrique du modèle de mélange non paramétrique.

Équations

24Dans le modèle mixte paramétrique, les paramètres des trajectoires estimés au premier niveau (intraindividuel) deviennent les variables dépendantes au deuxième niveau (interindividuel, Bryk & Raudenbush, 1992). En supposant une équation linéaire au niveau 1 (voir équation 1), les équations décrivant la variation au sein de la population de courbe (niveau 2) sont :

25β00 et β10 représentent respectivement l’ordonnée à l’origine moyenne et la pente moyenne de l’ensemble des trajectoires; r0i et r1i représentent l’effet unique de l’individu i, c'est-à-dire la déviation des paramètres décrivant sa trajectoire individuelle par rapport à l’origine moyenne et à la pente moyenne. Dans le vocabulaire associé au modèles mixtes, β00 et β10 sont considérés comme des composantes fixes, puisqu’ils ne prennent qu’une seule valeur pour l’ensemble de l’échantillon, alors que r0i et r1i sont plutôt identifiés comme des composantes aléatoires variant autour de l’origine moyenne et de la pente moyenne (Metha & West, 2000). Ce sont ces composantes aléatoires qui représentent les variations interindividuelles autour des paramètres moyens. Dans le modèle paramétrique, il est postulé que ces composantes aléatoires sont distribuées selon une fonction continue spécifique, généralement une normale.

26En substituant π0iet π0i dans l’équation 1, on obtient le modèle inconditionnel final suivant (le terme inconditionnel signifie qu’aucune covariable n’a encore été insérée):

27

28L’estimation des résidus n’est pas la même dans les modèles mixtes que dans les modèles de régression ordinaire (Boyle & Willms, 2001). En régression, il n’y a qu’une seule estimation de l’erreur, alors que dans les modèles mixtes, l’erreur est répartie parmi les différents niveaux hiérarchiques (voir l’équation 6). Dans l’équation (3) de niveau 2, le terme d’erreur (r0i) est constant pour l’individu i, peu importe le temps de mesure considéré. Autrement dit, une partie de l’erreur associée à l’individu i au niveau 2 est invariante au fil du temps. Ceci reflète le fait que les données, récoltées auprès d’un même individu au fil du temps, sont autocorrélées. C’est ce terme d’erreur individuel constant qui permet de contrôler pour l’hétérogénéité non observée. Le modèle accommode également l’hétérogénéité de la variance de l’erreur (hétéroscedasticité). En effet, dans l’équation (5) intégrant les équations de niveau 1 et de niveau 2, le terme d’erreur associé à la pente, r0i, est multiplié par le temps (ici le terme a, qui représente l’âge). Ainsi, la magnitude de l’erreur, et donc sa variance, peut varier avec le temps.

29L’inclusion de covariables au niveau 2 sert à prédire les variations individuelles sur π0iet π1i à partir de caractéristiques individuelles fixes, comme le sexe. Si l’objectif est d’examiner les différences entre les garçons et les filles aux plans de l’ordonnée à l’origine et de la pente, une variable binaire GAR (0 pour les filles, 1 pour les garçons) peut être insérée dans les équations (3) et (4), qui deviennent respectivement :

30β01 représentela différence entre les origines moyennes des garçons et les filles, et β11 représente la différence entre les pentes moyennes des garçons et des filles.

31Au niveau 1, il est possible d’inclure des covariables qui varient dans le temps. Par exemple, la composition du groupe d’amis principal n’est pas fixe dans le temps. Si l’on reprend l’exemple d’une trajectoire de délinquance au fil du temps, on pourrait se demander si le fait de fréquenter des pairs délinquants (AMI) influence cette trajectoire. L’équation suivante sert à modéliser ce type d’effet en ajoutant un terme à l’équation 1:

32où AMIti représente le nombre d’amisdélinquants pour l’individu i au temps t et où π2i représente l’effet du nombre d’amis délinquants pour l’individu i. En remplaçant π0i et π1i dans l’équation (9) par les formules (7) et (8), on obtiendrait un modèle conditionnel final incluant des covariables fixes et des covariables qui varient dans le temps.

Estimation des paramètres et ajustement du modèle

33Les procédures d’estimation reposant sur la méthode des moindres carrésne sont pasadéquates lorsque le postulat d’indépendance des données ne peut être rencontré, comme dans le cas des données longitudinales recueillies auprès d’un même individu. D’autres problèmes avec cette procédure proviennent du fait que la variabilité de la précision des paramètres estimés au niveau 1 n’est pas prise en compte (Singer & Willett, 2003). En effet, les estimés tirés de cette méthode sont imprécis lorsque le nombre de points de mesure est petit (Bryk & Raudenbush, 1992). En raison de ces faiblesses, des méthodes d’estimation fondées sur le principe de « maximum de vraisemblance » (maximum likelihood) sont le plus souvent utilisées pour les modèles mixtes. Ces méthodes, en plus de posséder des propriétés mathématiques désirables, ont l’avantage de tirer profit des forces de l’échantillon, en donnant plus d’importance aux données les plus précises (Bryk & Raudenbush, 1987; Kenny, Bolger, & Kashy, 2002). Une description détaillée du principe de maximum de vraisemblance dépasse le cadre du présent article (voir Bryk & Raudenbush, 1992), mais à titre indicatif, mentionnons que le but de cette méthode est d’estimer les paramètres pour lesquels il est le plus probable d’observer les données réellement obtenues.

  • 2  Habituellement, certains paramètres sont fixés à zéros dans le modèle niché.

34De plus, afin de comparer l’adéquation de modèles différents, des indices d’ajustements peuvent être utilisés (voir Singer & Willett, 2003). Pour les modèles nichés, où l’un des modèles représente une simplification de l’autre2, la statistique de déviance peut être utilisée afin de déterminer celui des deux modèles qui s’ajuste le mieux aux données (Singer & Willett, 2003). Si, en se basant sur la table du chi-carré, la valeur de la statistique est significative, il est possible d’affirmer que le modèle avec la plus petite valeur de la fonction du logarithme de vraisemblance (log-likelihood, LL) est celui qui s’ajuste le mieux aux données. Lorsque les modèles ne sont pas nichés, d’autres statistiques sont utilisées. Ces statistiques sont présentées plus en détail dans la section sur l’ajustement des modèles mixtes non paramétriques.

Le modèle mixte non paramétrique

35L’arrivée des modèles mixtes a révolutionné l’analyse des données longitudinales (Menard, 2002). Ces modèles ont eu, et ont encore, une grande valeur heuristique. Malgré leur utilité, ils ne sont toutefois pas sans limites. Notamment, étant donné qu’ils présument d’une distribution normale des paramètres décrivant les trajectoires, ces modèles peuvent être biaisés lorsque la distribution des paramètres s’éloigne de la normalité (Bushway, Brame, & Paternoster, 1999). De plus, puisque la distribution des paramètres est continue, cette méthode ne permet pas d’identifier objectivement des points de coupures qui permettraient d’isoler certains sous-groupes de trajectoires qualitativement distinctes. Ces modèles ne sont donc pas adaptés aux questions de recherche émanant de théories catégorielles du développement. Par exemple, certaines théories sur l’évolution des comportements délinquants soutiennent que la population serait composée de trois patrons d’évolution typiques, la majorité des gens ne présentant jamais de comportements délinquants, certains en manifestant pendant une période limitée à l’adolescence et, finalement, une minorité qui maintiendrait ce type de comportements tout au long de leur vie (Moffit, 1993). Si plusieurs patrons d’évolution existent au sein de la population, ils ne seront pas nécessairement dégagés par le modèle mixte paramétrique.

36Même s’il est certainement justifié de supposer un patron d’évolution commun dans plusieurs instances, il demeure que dans certains cas, résumer l’ensemble des trajectoires par une forme moyenne unique n’est pas approprié (Raudenbush, 2001b; von Eye & Bergman, 2003). En effet, même si la courbe moyenne peut représenter une synthèse utile, il est possible qu’elle ne corresponde en réalité à aucune des trajectoires observées. Par exemple, une trajectoire moyenne horizontale serait obtenue dans un cas où une moitié de la population présente une trajectoire ascendante avec un statut initial faible et où une autre moitié présente le patron inverse, avec un statut initial élevé et une pente descendante. Le modèle mixte non paramétrique permet d’identifier ces patrons distincts (Land & Nagin, 1996; Nagin, 1999; Nagin & Land, 1993). Ce modèle est aussi appelé modèle de mélange semiparamétrique (Nagin, 1999) ou encore analyse de classe latente pour courbes de croissance (Muthén, 2001). Ce modèle donne la possibilité d’étudier les phénomènes qui, comme la délinquance, peuvent évoluer selon des patrons variés. Il est conçu expressément afin de déceler la présence de sous-groupes distincts parmi un ensemble de trajectoires. Il représente un compromis intéressant entre les analyses autour d’une trajectoire moyenne unique et les études de cas (von Eye & Bergman, 2003).

Description générale

37Le modèle mixte non paramétrique peut être considéré comme un modèle à deux niveaux (Raudenbush, 2001a). Comme dans les modèles mixtes paramétriques, le premier niveau représente un ensemble de trajectoires individuelles décrites par une fonction mathématique, polynomiale ou autre. La distinction entre les deux types de modèles se situe au deuxième niveau, dans la façon de conceptualiser la distribution des variations interindividuelles au sein de la population. Plutôt que d’estimer la variabilité autour de paramètres moyens en postulant une distribution normale, les trajectoires sont conceptualisées comme appartenant à un nombre fini de sous-groupes relativement homogènes.  Chaque sous-groupe est défini par une équation différente avec une ordonnée à l’origine et une pente propre (voir figure 3). Donc, aucune contrainte quant à la forme de la distribution des paramètres n’est imposée. Plutôt, une approximation de cette distribution inconnue est obtenue de façon non-paramétrique, en estimant un nombre fini de sous-groupes. La variabilité autour des paramètres à l’intérieur de chacun des sous-groupes n’est pas modélisée. Par contre, la proportion de la population appartenant à chacun de ces sous-groupes est estimée. Il est également possible de déterminer, pour chaque individu, la probabilité d’appartenir à l’un ou l’autre des sous-groupes. À partir de cette probabilité, un individu peut être assigné à la trajectoire de développement qui correspond le mieux à son évolution personnelle. Finalement, cette méthode permet d’examiner les relations entre l’appartenance à un sous-groupe et certaines caractéristiques individuelles ou environnementales. Par exemple, l’appartenance à un groupe présentant une trajectoire de délinquance chronique pourrait être associée  au fait d’être de sexe masculin.

Figure 3 : Exemple de trajectoires issues du modèle mixte non paramétrique - Trois groupes distincts sont présentés : 1) un groupe toujours élevé; 2) un groupe faible au départ avec accélération; et 3) un groupe toujours faible

Avantages

38Cette méthode possède les avantages associés à une plus grande flexibilité des postulats distributionnels. Elle évite les biais du modèle paramétrique lorsque la distribution de l’hétérogénéité non-observée s’éloigne de la normalité. Sur le plan théorique, cette approche permet d’aborder des questions de nature catégorielles ou typologiques, puisqu’elle identifie des sous-groupes de trajectoires distinctes définies par des fonctions différentes.

39Comparativement aux méthodes de classification subjectives, le modèle mixte non paramétrique présente l’avantage de fournir un cadre formel pour tester l’existence de groupes de trajectoires distincts. Autrement dit, cette méthode ne présume pas a priori qu’il existe nécessairement plus d’un groupe dans la population. Plutôt, un indice d’ajustement est utilisé afin de déterminer le nombre de sous-groupes optimal (voir section sur l’ajustement). Ceci représente un progrès important comparativement à d’autres méthodes catégorielles qui déterminent le nombre de groupes sur une base uniquement subjective (von Eye & Bergman, 2003). De plus, cette méthode permet d’évaluer la précision de l’assignation des individus au sein des sous-groupes, et de tenir compte de la variation de cette précision lors d’analyses subséquentes.

40Le modèle mixte non paramétrique permet d’examiner l’influence de variables indépendantes sur les trajectoires individuelles. Premièrement, une fois l’assignation effectuée, il est possible de prédire l’appartenance à l’un ou l’autre des groupes à partir de caractéristiques individuelles ou environnementales fixes. Deuxièmement, l’impact de covariables qui varient dans le temps peut être modélisé dans chacun des groupes. Ce type de modèle permet de vérifier si l’influence des covariables est similaire ou différente selon le groupe d’appartenance. Dans le cas de la délinquance, il est possible que les covariables qui varient dans le temps aient une influence moins importante sur le groupe qui présentent un niveau élevé de comportements délinquants tout au long de leur vie que pour les autres groupes (Lacourse, Dupéré, Nagin, & Tremblay, 2004; Nagin & Paternoster, 2000), par exemple un groupe ou les comportements délinquants apparaissent à l’adolescence et sont limités à cette période. Il serait beaucoup plus difficile de dégager des observations de ce genre à l’aide d’un modèle mixte paramétrique.

41Lorsque des considérations théoriques ou empiriques suggèrent la possibilité de groupes suivant des trajectoires de formes qualitativement distinctes qui ne peuvent êtres aisément représentées par un continuum, le modèle mixte non paramétrique peut enrichir grandement l’interprétation des résultats. Toutefois, lorsque les groupes identifiés suivent une forme de trajectoire commune qui varie seulement en élévation, il est possible que les résultats soient très similaires à ceux obtenus à partir du modèle mixte paramétrique.

Postulats

42Dans le modèle mixte non paramétrique, il n’est pas attendu que la distribution des variations interindividuelles soit normale. En fait, une forme distributionnelle multinomiale n’est représentée au niveau 2. Plutôt, les groupes de trajectoires représentent une approximation d’une distribution sous-jacente inconnue. Mathématiquement, ceci se traduit par une procédure non-paramétrique où la distribution sous-jacente des paramètres est représentée par un ensemble discret (Heckman, 1981; Heckman & Singer, 1984; Nagin, 1999; Nagin & Tremblay, 1999).

43Dans les faits, il est impossible de savoir si les paramètres se distribuent approximativement normalement ou s’éloignent sensiblement de la normalité. Par contre, certains indices peuvent être utiles. Par exemple, la  normalité distributionnelle des paramètres est moins probable lorsque les variables observées ne se distribuent pas normalement (Bushway et al., 1999). Par exemple, les scores observés de délinquance suivent souvent une distribution censurée par la gauche (une distribution est dite censurée par la gauche lorsqu’un trop grand nombre d’individus obtiennent un score nul ou très faible pour que la distribution soit de forme normale). Il est donc possible qu’une tendance similaire affecte la distribution des paramètres décrivant les trajectoires de délinquance . Dans de tels cas, il peut être particulièrement pertinent de comparer les résultats obtenus à partir du modèle mixte paramétrique à ceux obtenus avec le modèle mixte non paramétrique, afin d’évaluer la sensibilité des conclusions aux postulats distributionnels.

Équations

44Si l’on suppose une distribution normale pour les données observées, alors l’équation générale du modèle mixte non paramétrique devient :

45L’équation générale ressemble à celle du modèle paramétrique (voir équations 5 et 6), à quelques différences près. D’abord, un indice supplémentaire j est ajouté. Cette modification exprime le fait que le modèle mixte non paramétrique permet la spécification de j sous-groupes de trajectoires, chacun associés à une origine et une pente propre. De plus, la partie stochastique de l’équation se limite maintenant au terme d’erreur élémentaire (eti), puisque les variations interindividuelles au niveau 2 sont maintenant estimées à partir d’une distribution discrète représentée par les différents sous-groupes j plutôt qu’à partir d’une fonction normale continue représentée par les effets aléatoires. Autrement dit, le changement intraindividuel au niveau 1 est représenté de la même manière dans les deux modèles, par une équation décrivant l’évolution en fonction du temps. La distinction se retrouve plutôt au niveau 2, dans la manière d’estimer la distribution des trajectoires individuelles au sein de la population.

46Dans le modèle mixte non paramétrique, des indices supplémentaires sont extraits lors de l’estimation du modèle, afin (1) d’identifier la proportion de la population appartenant à chaque groupe de trajectoires et (2) d’estimer a posteriori la probabilité, pour chaque individu i, de se retrouver dans l’un ou l’autre des groupes de trajectoires. Plus spécifiquement, les données observées pour un individu i sont utilisés afin de calculer la probabilité que cet individu appartienne à chacun des groupes identifiés. À partir de ces probabilités, les individus peuvent être assignés au groupe qui correspond le mieux à leur trajectoire individuelle observée (Nagin, 1999; Nagin & Tremblay, 1999). De plus, la probabilité d’appartenir à chacun des groupes en comparaison à un groupe de référence, conditionnelle à un ensemble de covariables fixes, peut être prédite à partir de la régression logistique multinomiale (Maddala, 1983). Par exemple, si l’objectif est d’estimer dans quelle mesure le fait d’être de sexe masculin influence la probabilité de se retrouver dans un groupe j caractérisé par une trajectoire élevée de comportements délinquants tout au long de l’adolescence plutôt que dans un groupe de référence  ne manifestant jamais ce type de comportements, l’équation de régression multinomiale serait :

47où πj représente la probabilité d’appartenir au groupe de  trajectoire j conditionnel à la covariable « être un garçon » (GAR) et où θj est un paramètre qui capture l’impact de la covariable d’intérêt sur la probabilité d’appartenir à ce groupe de trajectoires. Le groupe de contraste voit son paramètre θ fixé à zéro afin de pouvoir estimer les paramètres de l’effet de la covariable pour les différents groupes de trajectoires.

48L’introduction de covariables qui varient dans le temps se fait selon la même logique que dans le modèle paramétrique, en les ajoutant directement à l’équation de développement en fonction du temps. Si l’on reprend l’exemple de l’équation linéaire avec la fréquentation d’amis délinquants comme covariable qui varie dans le temps, l’équation (10) devient :

Estimation des paramètres

49Comme dans les modèles mixte paramétriques, l’estimation des paramètres est effectuée selon le principe de vraisemblance maximale (maximum likelihood, voir section 3.4.2). Toutefois, une modification est effectuée afin de permettre l’identification de sous-groupes de trajectoires présentant des formes différentes (voir Nagin, 1999; Nagin & Tremblay, 1999).

50Afin de déterminer le nombre de groupes optimal, des indices d’ajustement ont été développés. Le BIC (Bayesian Information Criterion) est l’indice le plus souvent utilisé pour le modèle non-paramétrique. Il s’agit d’une méthode ad hoc qui permet de comparer la qualité de la correspondance de plusieurs modèles spécifiant chacun un nombre de groupes différent. Le modèle avec le BIC le plus près de zéro est considéré comme celui s’ajustant le mieux aux données. La formule utilisée pour calculer le BIC favorise la parcimonie, puisqu’elle induit une pénalité pour l’ajout de paramètres, ajout inhérent à l’augmentation du nombre de groupes. Cet indice tient également compte de la taille de l’échantillon : plus l’échantillon est grand, plus la différence d’ajustement entre deux modèles devra être importante pour se traduire en une différence sur la valeur du BIC. Il n’existe pas de critères permettant de déterminer si la différence entre deux valeurs du BIC est significative ou non. Toutefois, certains indices supplémentaires peuvent être calculés afin de comparer la probabilité de différents modèles d’être le modèle « correct » (voir Nagin, 2005).

51L’utilisation du BIC ne fait pas l’unanimité. D’autres indices d’ajustement, comme le AIC (Akaike Information Criterion) ou le ICL-BIC (Integrated Classification Likelihood-BIC) ont été proposés. Une étude évaluant la performance du BIC comparativement à ces alternatives montre que le  AIC peut être légèrement supérieur au BIC dans des échantillons plus petit mais qu’il a parfois tendance à indiquer un nombre de groupe trop élevé (Brame, Nagin, & Wasserman, 2006).  Dans cette étude, le ICL-BIC a démontré une performance moindre. L’utilisation d’un critère statistique objectif comme le BIC pour déterminer le nombre de groupes représente un avantage important comparativement aux méthodes subjectives de classification. Toutefois, la méthode n’est pas infaillible. Il arrive que le BIC ne permette pas de trancher clairement entre différents modèles.  Dans ce cas, des considérations d’ordre théorique peuvent être utilisées en conjonction avec le critère mathématique

Application

52Cette section illustre, par le biais d’une application, les différences entre le modèle mixte paramétrique postulant une distribution continue de l’hétérogénéité non-observée (modélisé à l’aide de la procédure SAS PROC NLMIXED), et le modèle non paramétrique postulant une distribution discrète de cette hétérogénéité (modélisé à l’aide de la procédure SAS PROC TRAJ). Pour les deux types de modèles, il est considéré que la variable observée suit une distribution de Poisson. La distribution de Poisson est retenue puisque la variable dépendante est un compte du nombre d’actes violents survenus au cours d’une année donnée.

53L’échantillon utilisé pour cette application est tiré de l’Étude longitudinale de Montréal. Il est composé de 1037 garçons caucasiens d’origine canadienne-française qui proviennent de quartiers défavorisés de Montréal, au Canada. Les participants ont été évalués une fois en 1984 (6 ans), puis annuellement de 11 à 17 ans.  Seuls les participants ayant au moins une mesure de la variable dépendante ont été retenus (N = 969). Les autres données manquantes sur les covariables ont été imputées à l’aide d’une procédure d’imputation multiple (SAS PROC MI). Les analyses ont été réalisées sur une seule base de données complète issue de cette procédure.

54La variable dépendante est la violence physique autorapportée de 11 à 17 ans. L’échelle varie entre 0 et 9, les scores élevés indiquant davantage de violence physique. Les items utilisés évaluent la fréquence d’apparition, au cours de la dernière année, de trois comportements : le fait d’avoir utilisé une arme lors d’une bataille, d’avoir participé à des batailles entre groupes et de s’être battu à coups de poing. L’échelle de réponse est de style Likert à quatre points d’ancrage (0=jamais, 1=une ou deux fois, 2=souvent, 3=très souvent). La moyenne de l’échelle à chacun des temps de mesure se situe autour de 1 (0,76 à 1,22; écat-type de 1,22 à 1,58). La distribution des valeurs est asymétrique avec un mode à 0, et ce, à tous les temps de mesure. Bien que ce type d’échelle ne représente pas à proprement parler un compte du nombre d’actes violents, les scores suivent tout de même une distribution de Poisson.

55Trois covariables fixes mesurées à 6 ans sont également considérées. La première est un indice d’adversité (ADV) composé à l’aide de plusieurs caractéristiques familiales (statut familial, prestige de la profession, âge à la naissance du premier enfant et niveau d'éducation des parents,  Tremblay et al., 1991). Il s’agit d’une variable continue variant entre 0 et 1. Un score plus élevé à cet indice indique un niveau d’adversité plus élevé.  Les deux autres covariables, l’hyperactivité (HYP) et l’inattention (INAT), ont été mesurées à l’aide d’un questionnaire complété par l’enseignant de maternelle. Celui-ci devait indiquer, sur une échelle de réponse à trois points d’ancrage (0=jamais, 1=parfois, 2=souvent), la fréquence d’apparition des comportements listés. L’indice d’hyperactivité est composé de deux items (agité, ne demeure pas en place; remue, se tortille) ainsi que l’indice d’inattention (faible capacité de concentration, distrait).

Illustration du modèle mixte paramétrique

56Puisque dans notre exemple, la variable dépendante représente la fréquence d’apparition d’événements rares par unité de temps et suit une distribution de Poisson, la procédure SAS NLMIXED est utilisée pour illustrer le modèle mixte paramétrique. Cette procédure permet d’estimer un modèle paramétrique non linéaire, en postulant par exemple que les données observées suivent une distribution de Poisson. Toutefois, il est à noter que le postulat concernant la normalité de la distribution des paramètres dans la population (hétérogénéité non-observée), est maintenu même si les données observées peuvent être modélisées à partir de différentes formes distributionnelles au niveau individuel.

57Exemple avec SAS PROC NLMIXED. Une série de modèles avec des fonctions de formes différentes (linéaire, quadratique, et cubique) a été estimée avant d’inclure les covariables dans l’équation. Les statistiques représentant le degré d’ajustement de ces différents modèles sont listées dans le tableau 1. Deux indices d’ajustement, le BIC et la statistique de déviance, ont été calculés pour chacun des modèles testés. D’abord, un modèle constant (modèle A) a été estimé, puis des termes linéaire (modèle B), quadratique (modèle C) et cubique (modèle D) ont été ajoutés en séquence. Finalement, les covariables représentant l’adversité familiale (ADV), l’hyperactivité (HYP) et l’inattention (INAT) ont été ajoutées, ainsi qu’un terme représentant une interaction significative observée entre l’adversité familiale et l’hyperactivité (ADV*HYP, modèle D). Tous les modèles testés incluent un effet aléatoire autour de l’origine. Des modèles additionnels ont également été testés afin de vérifier si les covariables interagissaient avec le temps, mais puisque aucun effet significatif n’a été détecté, les résultats ne sont pas présentés (voir Willett et al., 1998 pour une discussion complète de la nécessité d'une vérification systématique de la présence d'effets variables en fonction du temps).

Tableau 1 : Indices d’ajustement (BIC et statistique de déviance) pour les modèles mixtes paramétriques estimés avec la procédure SAS PROC NLMIXED (N = 969)

Tableau 1 : Indices d’ajustement (BIC et statistique de déviance) pour les modèles mixtes paramétriques estimés avec la procédure SAS PROC NLMIXED (N = 969)

Note. ADV = adversité familiale. HYP = hyperactivité. INAT = inattention

58Les résultats présentés au tableau 1 indiquent que le modèle inconditionnel cubique présente le meilleur niveau d’ajustement aux données. Effectivement, parmi les modèles inconditionnels testés, c’est-à-dire avant d’inclure les covariables (modèles A à D), c’est le modèle D qui présente le meilleur ajustement, à la fois selon la statistique de déviance et selon le BIC. En comparant la valeur de la statistique de déviance pour les modèles quadratique et cubique, on observe que la différence est significative, suggérant que l’ajout du terme cubique permet d’obtenir une meilleure représentation du processus de changement. Le critère d’information bayesien (BIC) corrobore le choix du modèle cubique, puisque la plus petite valeur du BIC est associée à ce modèle. Les covariables ont donc été ajoutées au modèle cubique. Les résultats détaillés associés à ce modèle conditionnel final (modèle E) sont présentés au tableau 2.

Tableau 2 : Estimés des paramètres et de leur erreur standard obtenus avec SAS PROC NLMIXED (N = 969)

Tableau 2 : Estimés des paramètres et de leur erreur standard obtenus avec SAS PROC NLMIXED (N = 969)

Note. ADV = adversité familiale. HYP = hyperactivité. INAT = inattention. ~ p < .10. * p < .05. *** p < .01. *** p < .001.

59La partie supérieure du tableau 2 révèle que les covariables insérées dans le modèle ont toutes un effet indépendant significatif ou marginalement significatif sur le statut initial. Ainsi, des niveaux plus élevés d’adversité familiale et d’hyperactivité sont associés à une plus grande agressivité auto-rapportée à 11 ans. Une tendance marginale similaire est observée pour l’inattention. De plus, les résultats montrent que ces différence se maintiennent au cours de l’adolescence, puisque aucune interaction significative avec le temps n’a été trouvée. Les résultats indiquent aussi la présence d’une interaction significative entre l’adversité familiale et l’hyperactivité. Afin de faciliter l’interprétation de cet effet interactif, la figure 4 présente les courbes prédites à différents niveau de ces deux variables. L’examen de la figure révèle que l’effet de l’hyperactivité sur le niveau d’aggressivité physique est moins marqué chez les adolescents provenant de familles confrontées à un niveau élevé d’adversité. L’effet de l’hyperactivité est visible surtout pour ceux évoluant au sein de familles favorisées. Ainsi, dans les familles défavorisées, le degré d’agressivité est pratiquement identique peu importe le niveau initial d’hyperactivité. Autrement dit, les garçons de milieux particulièrement défavorisés tendent à être plus agressifs, qu’ils soient hyperactifs ou non, alors que chez ceux de milieux favorisés, l’hyperactivité a un effet important, rehaussant le score prédit d’agressivité à un niveau similaire à celui des garçons de milieux défavorisés. Cet effet d’interaction converge avec les résultats d’autres études montrant que les effets sur l’agressivités de facteurs psychophysiologiques tels que l’hyperactivité sont plus faciles à détecter dans les environnements familiaux favorisés (Raine, 2002). Lorsque les facteurs sociaux prédisposant sont absent, l’influence de traits individuels est plus facilement détectable.

Figure 4 : Courbes prédites d’agressivité physique à différents niveaux d’adversité familiale (adv) et d’hyperactivité (hyp), en maintenant constant le niveau d’inattention, telles qu’estimées avec SAS PROC NLMIXED (Tableau 2)

60D’autres observations intéressantes se dégagent de l’examen de la figure 4, et illustrent certaines limites de l’approche paramétriques. D’abord, on observe que même pour des individus présentant des niveaux de risque bien différents au départ, les courbe prédites demeurent relativement peu différenciées. Bien qu’en moyenne, le degré d’agressivité physique prédit tend à être plus élevé lorsque plusieurs facteurs de risques sont présents, il est apparent que même pour ceux qui présentent des niveaux particulièrement élevés d’hyperactivité et d’adversité familiale, l’élévation de la trajectoire prédite demeure relativement faible. En effet, tout au long de la période d’observation, la courbe se situe sous la barre des deux points, sur une échelle avec un maximum de 9. De plus, non seulement l’élévation des courbes est relativement peu différenciée, mais la forme des trajectoires prédites obtenues à différents niveau des facteurs de risque est également très similaire. Ceci s’explique par la fait que dans ce type de modèle, les facteurs de risque sont utilisés pour décrire les différences individuelles en terme d’élévation et changement autour d’un patron d’évolution commun. Ce type de modélisation autour d’une tendance centrale est susceptible d’être particulièrement approprié lorsque le phénomène étudié évolue de façon similaire, bien qu’à un rythme variable, pour l’ensemble de la population. La maturation physique ou l’acquisition du langage sont des exemples de processus qui suivent typiquement une courbe ascendante, et pour lesquels il est raisonnable de postuler une variation continue autour d’une tendance centrale. Par contre, il est moins clair que ce type de modélisation est bien adapté à un phénomène comme l’agressivité physique, pour lesquels il n’existe pas de patron facilement applicable à l’ensemble de la population. Dans de tels cas, le modèle non paramétrique peut offrir une alternative intéressante.

Illustration du modèle mixte non paramétrique

61Exemple avec SAS PROC TRAJ. Dans les modèles mixtes non paramétrique, le BIC est utilisé afin de déterminer le nombre optimal de groupes, ainsi que la forme des trajectoires. Pour l’exemple, un modèle à 6 groupes (trois fonctions linéaires et trois fonctions quadratiques) a été retenu sur la base de cet indice. Le tableau 3 présente les résultats obtenus avec ce modèle. De plus, une illustration graphique des résultats est présentée à la figure 5.

Tableau 3 : Estimés de la proportion de la population, des parameters et erreurs standard pour chacun des 6 groupes (SAS PROC TRAJ, N = 969)

Tableau 3 : Estimés de la proportion de la population, des parameters et erreurs standard pour chacun des 6 groupes (SAS PROC TRAJ, N = 969)

Note. ADV = adversité familiale. HYP = hyperactivité. INAT = inattention. Ref = groupe de référence. ~ p < .10. * p < .05. *** p < .01. *** p < .001.

Figure 5 : Trajectoires d’agressivité physique estimées avec SAS PROC TRAJ (Tableau 3)

62La variabilité des formes des trajectoires ainsi que la grandeur de la fourchette d’élévation couverte sont deux aspects importants qui distinguent les trajectoires obtenues à l’aide de la méthode non paramétrique (figure 5) de celles obtenues précédemment avec la méthode paramétrique (figure 4). En terme d’élévation, alors que les groupes composés d’individus ne rapportant en aucun temps une fréquence élevée de comportements violents (groupes 1, 2 et 3, représentant plus des deux tiers de l’échantillon), évoluent à des niveaux comparables à ceux des courbes présentées à la figure 4, les courbes décrivant l’évolution des autres groupes (groupes 4, 5 et 6) atteignent des niveaux nettement plus élevés. Ces groupes se distinguent également quant à la forme de leur trajectoires respectives. En effet, alors que les groupes plus faibles suivent une trajectoire linéaire déclinante se rapprochant de celles décrites par les courbes obtenues avec le modèle paramétrique (figure 4), d’autres groupes suivent des patrons qualitativement différents. Par exemple, le quatrième groupe suit une tendance ascendante, alors que le sixième groupe présente un niveau élevé de comportements agressifs tout au long de la période d’observation. La forme de ces trajectoire s’apparente aux patrons d’évolution décrits par Moffitt (1993), où il est attendu qu’une section de la population présente des comportements agressifs pendant l’adolescence seulement, alors que seulement une petite partie de la population est susceptible de présenter ce type de comportement de façon soutenue. L’observation de tels patron d’évolution bien distincts suggère que les trajectoires moyennes obtenues à l’aide de procédures postulant une distribution continue de l’hétérogénéité ne constituent pas une représentation fidèle de la variété des trajectoires individuelles dans cet échantillon.

63Habituellement, les théories catégorielles comme celle de Moffit (1993) ne se limitent pas à décrire des patrons d’évolution spécifiques pour différents sous-groupes. Elles prédisent également que différents facteurs explicatifs seront à l’origine de ces patrons d’évolution distincts. Autrement dit, dans le cas qui nous intéresse, des facteurs de risque différents seront associés à un patron où les comportements apparaissent plus tard et sont limités à l’adolescence (groupe 4) comparativement à un patron d’agressivité plus chronique (groupe 6). Selon Moffit (1993), les facteurs de risque individuels apparaissant tôt au cours du développement jouent un rôle étiologique plus importants dans le développement de problèmes d’agressivité chroniques, alors que les facteurs de risque environnementaux apparaissant plus tard sont fondamentaux pour expliquer l’émergence de comportements déviants limités à l’adolescence. De façon générale, les résultats présentés dans le tableau 3 sont conformes aux prédictions de cette formulation théorique. En effet, les facteurs de risque précoces, soir la présence d’adversité familiale et d’hyperactivité à l’âge de 6 ans, ainsi que leur effet interactif, prédit plus efficacement l’appartenance au groupe suivant une trajectoires d’agressivité chronique (groupe 6) que l’appartenance au groupe dont les comportements agressifs émergent à l’adolescence et sont probablement limités à cette période (groupe 4). Puisque les comportements agressifs des membres de ce groupe ne sont pas stables et apparaissent relativement tard au cours du développement, il serait probablement nécessaire de considérer l’apport de covariables qui varient dans le temps (ex. : appartenance à un groupe de pairs déviants) afin de comprendre et d’expliquer l’évolution de ce groupe.

64Cette section montre que les observations tirées du modèle non paramétrique peuvent être qualitativement différentes de celles obtenues à l’aide du modèle paramétrique. Lorsque l’effet des facteurs de risque n’évolue pas de façon linéaire d’un groupe à l’autre selon leur élévation respective, le modèle non paramétrique permet de dégager les effets différentiels en fonction du type de trajectoire beaucoup plus aisément que ne le permet un modèle paramétrique plus classique. En résumé, si l’effet de certaines covariables se concentre dans une région particulière de la surface de réponse, le modèle non paramétrique peut s’avérer utile afin de raffiner l’interprétation.

Conclusion

65Les modèles mixtes paramétrique et non paramétrique sont des outils statistiques conçus pour étudier le changement. Ces méthodes partagent une base commune, la trajectoire de développement individuelle. L’utilisation des trajectoires représente une grande amélioration comparativement aux méthodes traditionnelles d’analyse du changement. Les deux modèles mixtes présentés se distinguent quant à leur modélisation de la distribution des trajectoires latentes au sein de la population.

66En effet, la flexibilité des postulats distributionnels associés aux deux modèles présentés différent grandement. Le modèle mixte paramétrique postule d’une distribution normale des paramètres au sein de la population. Il s’agit là d’un postulat plutôt contraignant dans les situations où la normalité distributionnelle est moins probable. Dans un tel cas, les estimés issus de ce modèle peuvent être biaisés. Le modèle mixte non paramétrique n’impose pas de forme précise pour la distribution des paramètres. Une distribution discrète est utilisée comme une approximation non paramétrique de la distribution sous-jacente réelle de forme inconnue. Dans les faits, il est probable que cette distribution soit continue, mais il est impossible de déterminer sa forme exacte. La force du modèle non paramétrique est justement qu’il n’impose pas de forme paramétrique précise à la distribution des variations interindividuelles. Un autre avantage de ce modèle, découlant directement de l’utilisation d’une distribution discrète au deuxième niveau, est qu’il offre un cadre formel pour étudier les questions de recherches de nature typologique.

67Il a été démontré que certains problèmes peuvent survenir avec le modèle non paramétrique lorsque des covariables influençant le niveau d’occurrence d’un événement sont omises, par exemple la mortalité et l’incarcération (Eggleston et al., 2004). Toutefois, il est important de mentionner que l’influence négative de ces omissions sur la validité du modèle n’est pas restreinte à ce modèle et affecte également le modèle paramétrique (Nagin, 2004). De plus, Eggleston et ses collaborateurs (2004) ont observé que l’étendue de la période d’observation peut avoir une influence considérable sur le nombre de groupes, la forme des trajectoires et l’assignation des individus aux groupes. Autrement dit, l’extrapolation au-delà de la période d’observation est un exercice risqué. Encore une fois, cette problématique n’est pas propre au modèle mixte non paramétrique. En fait, il ne s’agit pas là d’un résultat contradictoire à la logique de ce modèle puisque lorsque l’étendue des observations varie, il est naturel que le nombre de groupe nécessaire à l’approximation de la distribution des variations interindividuelles puisse changer (voir Nagin, 2004).

68Afin d’évaluer l’impact des restrictions imposées par chacune des méthodes, Bushway, Brame et Paternoster (1999) recommandent de comparer les résultats obtenus à partir de plusieurs méthodes. Ceci permet de vérifier la robustesse des résultats ainsi que leur sensibilité aux différents postulats. Dans les cas où les résultats sont différents d’une méthode à l’autre, il est plus prudent d’utiliser les résultats obtenus à partir de l’approche dont les postulats sont moins restrictifs, soit l’approche non paramétrique. Dans les cas où les résultats sont similaires, le modèle mixte paramétrique peut être retenu, par souci de parcimonie et d’efficacité.

69Sur le plan théorique, la nature du phénomène observé doit également être prise en considération lors du choix du modèle. En effet, l’approche paramétrique permet de modéliser les phénomènes où une tendance moyenne peut, en principe, représenter adéquatement l’évolution de l’ensemble de la population, alors que l’approche catégorielle sert à modéliser les phénomènes où différents sous-groupes présentent des patrons de comportement qualitativement différents. En résumé, la validité des modèles pour décrire un phénomène en évolution dépend de sa correspondance avec les données, mais aussi de son association avec une représentation théorique crédible.

Haut de page

Notes

1  La notation de Bryk et Raudenbush (1992) est préférée afin de faciliter la présentation subséquente du modèle mixte paramétrique.

2  Habituellement, certains paramètres sont fixés à zéros dans le modèle niché.

Haut de page

Table des illustrations

Titre Figure 1 : Exemples de trajectoires a) linéaire et b) quadratique
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 8,0k
Titre Equation 1 :
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-2.jpg
Fichier image/jpeg, 4,0k
Titre Equation 2 :
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-3.jpg
Fichier image/jpeg, 4,0k
Titre Figure 2 : Exemple d’un ensemble de trajectoires de développement linéaires
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-4.jpg
Fichier image/jpeg, 8,0k
Titre Equation 3 :
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-5.jpg
Fichier image/jpeg, 4,0k
Titre Equation 4 :
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-6.jpg
Fichier image/jpeg, 4,0k
Titre Equation 5 :
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-7.jpg
Fichier image/jpeg, 4,0k
Titre Equation 6 :
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-8.jpg
Fichier image/jpeg, 4,0k
Titre Equation 7 :
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-9.jpg
Fichier image/jpeg, 4,0k
Titre Equation 8 :
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-10.jpg
Fichier image/jpeg, 4,0k
Titre Equation 9 :
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-11.jpg
Fichier image/jpeg, 4,0k
Titre Equation 10 :
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-12.jpg
Fichier image/jpeg, 4,0k
Titre Equation 11 :
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-13.jpg
Fichier image/jpeg, 4,0k
Titre Equation 12 :
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-14.jpg
Fichier image/jpeg, 4,0k
Titre Tableau 1 : Indices d’ajustement (BIC et statistique de déviance) pour les modèles mixtes paramétriques estimés avec la procédure SAS PROC NLMIXED (N = 969)
Légende Note. ADV = adversité familiale. HYP = hyperactivité. INAT = inattention
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-15.jpg
Fichier image/jpeg, 52k
Titre Tableau 2 : Estimés des paramètres et de leur erreur standard obtenus avec SAS PROC NLMIXED (N = 969)
Légende Note. ADV = adversité familiale. HYP = hyperactivité. INAT = inattention. ~ p < .10. * p < .05. *** p < .01. *** p < .001.
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-16.jpg
Fichier image/jpeg, 40k
Titre Tableau 3 : Estimés de la proportion de la population, des parameters et erreurs standard pour chacun des 6 groupes (SAS PROC TRAJ, N = 969)
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-17.jpg
Fichier image/jpeg, 56k
Légende Note. ADV = adversité familiale. HYP = hyperactivité. INAT = inattention. Ref = groupe de référence. ~ p < .10. * p < .05. *** p < .01. *** p < .001.
URL http://bms.revues.org/docannexe/image/408/img-18.jpg
Fichier image/jpeg, 8,3k
Haut de page

Pour citer cet article

Référence papier

Véronique Dupéré, Eric Lacourse, Frank Vitaro et Richard E. Tremblay, « Méthodes d’analyse du changement fondées sur les trajectoires de développement individuel », Bulletin de méthodologie sociologique, 95 | 2007, 26-57.

Référence électronique

Véronique Dupéré, Eric Lacourse, Frank Vitaro et Richard E. Tremblay, « Méthodes d’analyse du changement fondées sur les trajectoires de développement individuel », Bulletin de méthodologie sociologique [En ligne], 95 | 2007, mis en ligne le 22 février 2008, consulté le 24 avril 2014. URL : http://bms.revues.org/408

Haut de page

Droits d’auteur

© BMS

Haut de page
  • Revues.org